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By Martin Ziegler

ISBN-10: 3319441795

ISBN-13: 9783319441795

ISBN-10: 3319441809

ISBN-13: 9783319441801

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X/ N ein Axiom des Hilbertkalküls ist. x; N y/ ! x; N y/ ! x; N y/ ! x/ N ! x/ N , wenn y nicht unter den xi vorkommt. Hinweis: Zeigen Sie, daß 8x'. x/ N im Hilbertkalkül beweisbar ist. 9 9 Ich danke Enrique Casanovas für den Hinweis. 5 Der Sequenzenkalkül Der von Gentzen1 aufgestellte Sequenzenkalkül hat gegenüber dem Hilbertschen Kalkül die folgenden Vorteile. 1. 2. 3. 4. Axiome und Regeln entsprechen den Regeln des Formelaufbaus. Die Beweise sind näher am natürlichen Schließen. Der Beweis des Vollständigkeitssatzes ist einfach.

Dann ist S ein Axiom oder folgt nach einer der sechs Regeln aus Sequenzen mit kürzeren Ableitungen. Jeder dieser Fälle zerfällt in zwei Unterfälle, je nachdem, ob die Formel im Axiom zu 1 oder 2 , oder ob die in der Regel betrachtete Formel zu 1 [ 1 oder 2 [ 2 gehört. Wir brauchen aber immer nur den ersten dieser Fälle zu betrachten. Die Induktionsbehauptung impliziert nämlich die Allgemeingültigkeit von 2 2 [ f: ˇg und f: ˇg [ 1 1 und ist daher symmetrisch in L1 und L2 . 0. Fall: S ist ein Axiom, weil es ein ' 2 1 mit ' 2 1 [ 2 gibt.

Wenn '1 ! '2 allgemeingültig ist, gibt es eine interpolierende L1 \ L2 -Aussage ı, für die '1 ! ı und ı ! '2 allgemeingültig sind. Beweis Wenn '1 ! '2 allgemeingültig ist, ist die Sequenz '1 '2 ableitbar. Wir zeigen die Existenz von ı durch Induktion über die Länge des Beweises. L1 \L2 /[C -Aussage ˇ, für die 1 1 [fˇg und fˇg[ 2 2 allgemeingültig sind. Daraus folgt dann die Behauptung. x1 ; : : : xn / das Verlangte. Sei nun S D 1 [ 2 1 [ 2 ableitbar. Dann ist S ein Axiom oder folgt nach einer der sechs Regeln aus Sequenzen mit kürzeren Ableitungen.

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