Dipl.-Math. Anton Betten, Dr. Harald Fripertinger, Prof. Dr.'s Codierungstheorie: Konstruktion und Anwendung linearer Codes PDF

By Dipl.-Math. Anton Betten, Dr. Harald Fripertinger, Prof. Dr. Adalbert Kerber, Dr. Alfred Wassermann, Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann (auth.)

ISBN-10: 3540645020

ISBN-13: 9783540645023

ISBN-10: 3642589731

ISBN-13: 9783642589737

Eine Einführung in die Theorie der linearen Codes, in der zyklische Codes besonders ausführlich behandelt werden. Großer Wert wird auch auf computerunterstützte Methoden gelegt, insbesondere für die Bestimmung der Minimaldistanz linearer Codes, für die Abzählung der Isometrieklassen linearer Codes sowie Blockcodes und für die Erzeugung von Repräsentantensystemen dieser Klassen.
Das Buch wendet sich an Studenten und Wissenschaftler der Informatik, Mathematik und Elektrotechnik sowie an Fachleute in der Praxis.

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Sei j E GF(p)[x) ein norrniertes irreduzibles Polynom vom Grad m, so daB m ein Teiler von n ist. 8 pm also aueh Wurzel von x pm - x. Somit ist j ein Teiler von x - x (Ubungsaufpm pn - x ein Teiler von x - x (vgl. 8). 13). Also ist j aueh ein Teiler von x - x. 15 Beispiel Das Polynom x 16 rung in GF(2)[x): x l6 _ x = x(x - l)(x 2 +x - x E G F(2)[x) besitzt die folgende Faktorisie- + l)(x 4 +x + 1)(x 4 +x 3 + 1)(x 4 +x 3 +x 2 +x + 1). o SehlieBlieh solI die Existenz endlieher Korper mit beliebiger Primzahlpotenzordnung gezeigt werden.

Die linke Seite hatten wir am Beginn des Beweises hergeleitet. Die Behauptung 0 folgt hieraus dureh Vergleieh der linken und der reehten Seite naeh Ktirzen. Die Singleton-Sehranke liefert eine Absehatzung fUr die Lange eines (n, k, d)Codes, namlieh n ::: k + d - I. Eine oft deutlieh bessere Langenabsehatzung ermoglieht die Griesmer-Sehranke. 4 Die Griesmer-Schranke: Fur jeden linearen (n, k, d)-Code C uber GF(q) gilt, wenn fm 1 wie ublich die kleinste ganze Zahl groj3er oder gleich m bezeichnet: k-l n::: I)d/qil i=O Beweis: Der Fall k = I ist trivial.

Dann wOrden auch eine Primzahl p, i ::: 0 und Zahlen r, s ::j: 0 mit ord(fJ) = pis und ord(K) = pi+ I r existieren, so daB p kein Teiler von s ist. Insbesondere ware -j -j -"+1 (fJP )' = fJP S = 1 und (Kr)P = KP-;+1 r = I. Damit ergabe sich ord(fJP-j ) = s und ord(K r ) = pi+l. Foiglich waren ord(fJpi) und ord(K r ) teilerfremd. 10), jedenfalls also groBer als die Ordnung von fJ, was dessen Definition widerspricht. 10 ist damit bewiesen. 10, Ki = 1 fUr jedes K E lK*. Deshalb ist jedes K E lK* eine Wurzel des Polynoms xi - 1 E Zp[x], d.

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Codierungstheorie: Konstruktion und Anwendung linearer Codes by Dipl.-Math. Anton Betten, Dr. Harald Fripertinger, Prof. Dr. Adalbert Kerber, Dr. Alfred Wassermann, Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann (auth.)


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